Si instalaste la extensión Docker en Visual Studio Code y obtienes el mensaje Failed to connect, Is Docker running? y ya te aseguraste que Docker esta corriendo lo mas probable es que te falte agregar el usuario con el que estas corriendo Visual Studio al grupo docker.
Para esto ejecuta el comando siguiente desde una terminal.
Sustituye «user» por el usuario que corresponda a tu caso.
Luego reinicia el equipo, asegurase que Docker este corriendo y prueba nuevamente en Visual Studio Code.