Para poder leer los libros digitales que has adquirido en Amazon la forma mas sencilla es ingresar a Kindle Cloud Reader desde Google Chrome o Firefox con tu cuenta de usuario.
Otra opción es descargar la aplicación Kindle para Windows e instalarla con Wine.
He visto varios foros de gente que lo instala usando PlayOnLinux, pero la versión que te descarga es la 1.17 la cual ya no conecta con la plataforma de Amazon y cuando la abres te da errores de conexion a red.
A la fecha en la que escribo esto la versión mas nueva de Kindle para Windows es la 1.33 pero no termina de cargar en Wine por lo que probe con la versión 1.30 que lei en un foro de alguien que si le habia funcionado, por lo que probe y si me funciono como pueden ver en la imagen siguiente.
La version 1.30 la puedes descargar en el siguiente link.
https://www.fileeagle.com/download/software/file/10695/f39f78/
Despues de instalarla desde una pantalla de terminal ejecuta el siguiente comando.
Luego basta con hacer doble clic en el icono que te deja en el Desktop para ejecutar Kindle.
Datos de mi instalacion.
Distribución de Linux: Slackware 14.2
Kernel de Linux: 4.4.276
Version de Wine: 6.0.1
Version de Kindle App for PC: 1.30.59056