Para iniciar Docker Compose desde el arranque de Linux primero debes habilitar Docker para que inicie de forma automática, esto lo haces con el siguiente comando.
Reinicias el server y puedes ver si levanto Docker con el siguiente comando.
Deberías ver algo como lo siguiente.
Active: active (running) since Tue 2021-06-29 17:43:40 EDT; 2 months 18 days ago
Docs: https://docs.docker.com
Main PID: 54707 (dockerd)
Tasks: 43
Memory: 262.8M
CGroup: /system.slice/docker.service
Ahora para ejecutar Docker Compose como demonio debes ubicarte en la carpeta donde esta el archivo docker-compose.yml y ejecutar el siguiente comando.
Para que se ejecute después de un reinicio debes agregar al final del archivo docker-compose.yml la siguiente linea.
restart: always